結論から言えば公務員であろうが民間であろうが何を書こうが自由です。 重要なことは、併願状況についていろいろ突っ込まれた際に矛盾なく説明できるかということです。 例えば、教員採用試験を受験しているとなれば、なぜ、ぜんぜん違う試験種を受験しているのか、教員を目指して学生生活を送ってきたのではないかなどと突っ込まれると思います。 逆に教員採用試験を受験していることを記入しなくても、例えば質問者さんが教育学部で教職課程を専攻していることなどが面接のやり取りで分かってしまえば、併願状況について嘘をついていると判断され大きなマイナス印象になります。 したがって、一概に教員採用試験についても記載するのがいいかどうかは何とも言えません。質問者さんが何を聞かれようとも矛盾なく説明できるならどちらでも構わないと思います。
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