できません。 雇用保険の基本手当は、求職活動をする人への給付。 退職金ではありません。
職安への登録は職業の有無にかかわらずできます。転職を考えている人も在職中から登録するのが普通です。失業保険をもらうには要件が必要で質問者様の場合、会社が発行する離職票(退職を証明する書類)が入手できないので失業保険の給付手続きはできません。多分再雇用で給与が下がった時に給付される高年齢雇用継続給付金の手続きと混同されているのではありませんか?それとて会社が代行するので自ら出向いて手続きすることはレアケースです。
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