もう既に失業給付の手続きは終わっているようですが、6/18に初めて手続きをしたような感じですかね?
だとしたら…6/24までが待期期間となるので、給付制限の1ヶ月目になる6/25〜7/24までの【入社】だと、ハロワ求人かエージェント求人じゃないと、再就職手当は貰えません。
7/25以降の【入社】で…残日数が1/3以上残っていれば、どこの求人で見つけた会社でも再就職手当は対象です。
なので、
>再就職手当を早く貰うには
だと、まずはハロワ求人かエージェント求人で就活をして探すのが1番早く貰えるタイミングなのかな?と思います。