失業保険、コレって不正受給ですか？

Question

失業保険、コレって不正受給ですか？４月末に会社都合により退職し、５月末に失業保険給付の手続きをしました。
初回の認定日は６月末にあります。
手続きするのが５月末になったのは、以前から
Wワークでアルバイトをしていたのを辞めてから、と思っていたからです。
雇用保険もなく、契約書を交わす事も無い、小さな個人経営のお店で、
アルバイトは週２回、１日６時間前後していました。

ですが、手続き前に辞めるはずが、ずるずると辞めずに
６月も働いてしまいました。このバイトは６月末で完全に辞めます。
認定日に６月にやったアルバイトを黙ったまま申告書を提出するのは、
やはりバレた時大変ということがわかったので、
正直に申告しようと思っています。
ちゃんと辞めてから手続きしにいったらよかったのですが．．

ちゃんとした(?)失業状態になかったのに、失業保険の手続きをしたことは、
不正受給をしようとした（した？）ことになりますか？
今から、事情を説明し、正しく申告しても不正になり、打ち切りになりますか？

補足

正しく申告するつもりです。
面接・応募はありませんが、認定日まで求職活動とみなされることは
しているので、そこはクリアしているはずです。
ただ、待機期間中もバイトをしてしまいました。（週20時間未満）
待機期間の７日間は連続してなくていいから、バイトした分だけ
待機期間が過ぎるのが先になるだけだと認識しているのですが．．．

Answer 1

説明会の時に言われたと思いますが、待機期間中にアルバイトされてると面倒なことになるかと思います。待機期間中にアルバイトしてなくて、求職活動をしていれば６月末の認定日に申告すれば不正受給にはなりませんよ。
確か週２０時間以上働いてしまうと就業とみなされるようです。
補足みました。待機期間は伸びないんじゃないですかねぇ。失業保険はバイトした分だけ伸びるはずだと私は説明会の時にそう思ったのですが…。匿名でハローワークに電話してみたらどうですか？仮定の話として。

Answer 2

不正受給です。
公文書不実記載、同行使、さらに不正に受給すれば詐取（詐欺）にもなります。

正しく申告するかどうかは貴方の判断、それをどう取り扱うかはハローワークの判断。