公務員試験で合格した経験があります。
英語は苦手なので勉強のアドバイスはできないのですみません。
質問者様が希望されている二つの試験では英語は数問が出題されます。
過去問とかあるので調べてみるとイメージがつきやすいかと思います。
また、英語はぶっちゃけ捨てても他で点取れれば合格できます。
一つ指摘したいのですが、23区は「特別区」と呼ばれてまして、区ごとに試験は行われていなく、特別区人事委員会という所が23区を一括して「特別区職員採用試験」という形で試験が行われるのでこれに合格しないと区の職員にはなれません。