派遣会社から、以下の内容の手紙が届きました。

Question

派遣会社から、以下の内容の手紙が届きました。仕事が終了されている方も、税の手続きを行うため提出が必要です。マイナンバーを未提出の場合、
健康保険証や失業保険給付申請に関する書類（離職票）の発行ができません。

保険証や離職票が発行出来ないなんて事あるのでしょうか？

Answer 1

くだらない脅しで法的根拠などありません。

法的根拠は何もありません。

マイナンバーを提出しないと「給料を払わないと言う」脅しの相談の質問は今まで知恵袋で何度も見ていますが「健康保険証や失業保険給付申請に関する書類（離職票）の発行ができません」と言うのは始めてみますね。

いずれにしてもマイナンバー提出拒否で不利益なしです。

以下は マイナンバー提出拒否を給料の話ですね。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13213514943

↑の理屈と同じで
健康保険証や失業保険給付申請に関する件も
「行政手続における特定の個人を識別するための番号の利用等に関する法律」や「個人情報保護法」に一切規定がないため、
マイナンバー提出拒否で、健康保険証や失業保険給付申請を派遣会社が拒むのは法的な正当性がまったくありません。

どうしても拒むなら労働基準監督署に相談しましょう。
弁護士会は
・労働基準監督署への相談
・労働局への斡旋
・法的手段

の順に勧めています。

こちらもご参考に

テレビ朝日 【羽鳥慎一モーニングショー】＆2016年1月12日読売新聞

役所でもマイナンバー通知カードやマイナンバーカードは不要
自分の「マイナンバー」が分からない・窓口で代行記入
運用が始まったマイナンバー制度について厚生労働省などが窓口での運用に関する通知を全国の自治体に出したことがわかった。
国民健康保険などの手続きで申請者が自分のマイナンバーを把握していない場合、職員らが番号を調べ書類への記入を代行することなどを認める内容。

【国税庁のホームページより引用】
申告書や法定調書等の税務関係書類を税務署等に提出する際に、個人番号・法人番号を記載しなかった場合や誤りがあった場合の罰則規定は、税法上設けられておりません。

【全国商工新聞（2015年11月9日付）】
http://www.zenshoren.or.jp/zeikin/chouzei/151109-01/151109.html
マイナンバー 記載なくても不利益ない
全商連も加盟する全中連に各省庁が回答

【全国商工新聞（2016年1月18日付）】
http://www.zenshoren.or.jp/zeikin/chouzei/160118-00/160118.html
マイナンバー不提出で雇用拒否や取引停止 制度の趣旨に反すると全商連に政府が回答

【全国商工新聞（2018年4月16日付）】
http://www.zenshoren.or.jp/zeikin/chouzei/180416-03/180416.html
雇用保険 個人番号無くても受理 「改めて周知徹底する」＝加藤厚労相
ちなみに「失業保険」という単語は公的には使われていません。
「失業保険」と言われているのは、雇用保険の一部である基本手当を意味することが一般的です。

あと 日本は国民皆保険制度であり、
いずれかの社会保険か国民健康保険に加入していないといけません。
●●をしないから保険に加入しない させないと言うことも認められていません。
そんなことがあれば保険料を払いたくないためにわざと サポタージュする人がいるからです。
日本は保険加入と保険証発行は強制です。

派遣会社の言っていることは何から何まで滅茶苦茶ですよ。