失業後、再就職までの間の繋ぎで短期バイトをやる上で雇用保険、年金などの手続きで質問があります。

Question

失業後、再就職までの間の繋ぎで短期バイトをやる上で雇用保険、年金などの手続きで質問があります。2月14日を持ってフルタイムパート（契約社員）を退職しました。

その後、2月21日よりアルバイトからではありましたが就職が決まりその会社で社保完備で働かせて貰える予定でしたので
ハローワークや市役所には行かず（ちょうど働き出した時に前職より離職証明書などの書類がきたこともあり）、
前職を辞めたあと1週間後に働いてました。

ですが、働いて5日経たない2月27日に家庭内でお金がすぐに必要になり、毎日の生活のためにすぐにでもお金を稼がなくてはならなくなって精神的にも家庭的にも余裕がなくて折角でしたが退職しました。
（新しいところでは研修が3ヶ月あり、その間は週5日の1日5時間勤務でそれではお金が足りないのもあり）

日払いや週払いでできる派遣会社に何件か登録して、幸い3月2日に前金制度のあるアルバイトに採用され3月7日頃から短期でとりあえず1ヶ月働けることになりました。
その後も別の会社（前職の会社）で短期パートが決まっていて、しばらくは短期週払い（日払い）などでまた一から生活の基板を作りたいと思ってます。（その後、またどこかに就職を探そうと思ってます）

前置きが長くなりましたが、この場合（失業した後の1～3ヶ月短期バイトが決まってる）にて

・国民保険手続き※
・国民年金手続き※
・雇用保険手続き
・ハローワークでの失業手続き

は、すべて行うべきでしょうか。
※国民年金と国民保険は必要だと思うので明日市役所（横浜市内）してくる予定ですが、正しいでしょうか。

私に認識では雇用保険と失業手続きはハローワークだと思うのですが、あってますか？
なんだか複雑でイマイチ調べても頭に入ってこなくて、
教養がなくて申し訳ありませんが、手続きの流れややるべき手続きを教えて頂けると助かります。

補足。
・前職からの離職票は届いてるけどそのあと5日ほど務めた場所の退職手続きはまだです。
（急だったのでとりあえず会社へ行き、口頭で退職の意思を伝え社長了承済み）

・近日に短期でやるバイトでは週20時間以上勤務×25日勤務の予定。
（これに関してはまだ未定なので週20時間以上の場合 or 20時間以下の場合はの2通りが知りたいです）

お分かりの範囲での回答で良いので宜しくお願いいたします。

Answer 1

●国民年金と国民保険は必要だと思うので明日市役所（横浜市内）してくる予定ですが、正しいでしょうか。
やってください。
会社から「健康保険・厚生年金保険資格喪失届」の書類がが来ていると思いまのでそれを持っていきます。
●前職からの離職票は届いてるけどそのあと5日ほど務めた場所の退職手続きはまだです。
これは雇用保険に入っていないでしょうから関係ないですが退職手続きをしてください。
あと、アルバイトでも週２０時間以上になるとハローワークでは失業だとは認めてもらえないと思いますので失業申請は難しいと思います。
週２０時間未満なら安定した職業ではないとされますから雇用保険の申請は可能だと思います。
ただし。ハローワーク申請後にある７日間の待期期間中は仕事はできません。
月曜日市役所に行ったついでにハローワークに行って不明点を聞いてみるのもいいかもしれません。