社員がタイムカードを打刻してくれない

Question

社員がタイムカードを打刻してくれない小さなベンチャー企業で一人でバックオフィスを担当しています。
社員のほとんどが外国人（韓国)なのですが、タイムカードを打刻してくれず困っています。
私の認識では、タイムカードを打刻して勤怠の記録を残すことにより労働者の権利が守られるかと
思うのですが、どうやら「めんどうくさい」「管理されたくない」というのが大きな理由のようです。
弊社では裁量労働制をとっているため、深夜勤務・休日労働を行わない限り時間外手当がでません。（あったとしても支払っていない状態です）
それゆえ、時間給で支払われるわけではないから押さなくてもいいと思っているようです。
実際に韓国ではタイムカードを押して労務管理されていたことがないようです。
（あったとしても、大企業で入室時にタイムカードに打刻される方式だったようです）

その他の方の質問を見てみると、会社がタイムカードを押させない、改ざんするということで
お困りの方が多いみたいですが、私の場合は反対の状態です。
文化の違いなのか、ただの個人のわがままなのか・・・。
社長に相談してもそもそも労務に関心がない方なので、助けになりません。
（どうせ残業代を出さないのだから、みなに嫌がられるタイムカードを押させる必要があるの？
という状態です。雇用者の義務として社員の労務管理を行う必要があるということを何度説明しても
その時だけ「考えてみる」というだけで、実際には問題として捉えてくれていないと思います）

ある社員には「タイムカードを押すなら会社を辞める」とまで言われる始末。
パソコンのログイン・ログオフで勤怠管理できるソフトも検討してみましたが、うちのような小さな
会社で使うには費用がかかりすぎる、と言われ・・・。
バックオフィスを担当している私が、各自の出退勤時間を記入していく方法も提案してみましたが
「それだとあなたが大変になるでしょ」といわれ、社長の命でタイムカードを導入した次第です。

同じようなことで悩んでいた方、なにか良い解決方法がありましたら教えていただけますでしょうか。
一人だけで業務を行っている状態であるので、誰にも相談できません。
こんな小さなどうでもいいことで胃が痛い毎日・・・よいアドバイスを頂けたらと思います。

補足

tukum0n1984様、ichi_75ya様ご回答いただきましてありがとうございます。

上記内容に補足すると、まず社長が社員を「管理することで束縛したくない」と
いっているので、自分が積極的に雇用主の権利を振りかざすことをしてくれません。

会社として形になるよう、必要最小限の基盤だけでも整備したいと悪戦苦闘して
きましたが、正直最近ではバカバカしくなってきたことも事実です。

Answer 1

「管理されたくない」は全く理由になっていないのですから（会社が社員を指揮管理下に置く責任がありますし）・・・・

「タイムカードの打刻時間がそのまま出退勤時間であって、めんどくさくても会社にいて打刻しなければ遅刻・早退とみなされる。労務管理を雇用者側が行えないなら雇用関係が結ぶ事が出来ないわけで、それが日本の企業」「労使トラブルがおきた時企業がなんら対応が取れない。あなた達が何日出勤したといっても　タイムカード制度を導入している以上　タイムカードの記録が無ければ出勤していないことになる」と説明して　一度（短期間でいいので）厳しく取り締まってみてはどうですか？
打刻しなかったら　出勤していないことにみなす　っと・・・。
「タイムカードを押すなら会社を辞める」の人は正直　国内のまともな企業にはいらないタイプの人ですし・・・。

Answer 2

タイムカードを押してもらうための説明として、
「タイムカードを打刻して勤怠の記録を残すことにより労働者の権利が守られる」
という表現は非常に抽象的で、社員に納得されにくいかと思います。

タイムカードが押されないことによる問題は何でしょうか？
特に問題ないのであれば、廃止してしまったほうが良いと思います。
問題があるのであれば、それが対策につながりますので、教えてください。

Answer 3

質問者さんがお勤めの会社の給与形態がどうなっているか
わかりませんが、タイムカードをきちんと打刻しない社員は
仕事をしていないとみなし、給料を一切支払わない！
と、強く言い切ってしまえばいいのではないでしょうか？

そもそも、社員は企業に雇われて、会社の命令で
仕事をするので「管理されたくない」などという
あきれた口をきく社員は、解雇しても問題ないはずです。