厳密に法律を守るなら国保加入手続きは必要ですが、その間に医療機関にかかる必要が無ければ、加入しなくてもいいと思います。 次のバイト先で提出するのは、離職票ではなく雇用保険被保険者証ですね。
健康保険に加入していない期間があるというのはルール違反ではあります。 正社員で働いていた会社を6/30に退職したのであれば、7/1〜7/9の期間で国民健康保険に加入しても保険料は0円ですから、可能であれば手続きをして加入することをお勧めします。 また、雇用保険被保険者証がお手元にないということですが、離職票より遅くなることは考えにくいです。 雇用保険の被保険者証は本来入社時に渡すものです(紛失してしまう方が多いため会社が保管する場合も多いですが、ハローワーク側は入社時に渡すように指導しています)から、すでに受け取っていた可能性はないでしょうか? 雇用保険被保険者証は、ハローワークで再発行できます。 雇用保険被保険者証のかわりに離職票の提出で問題ないことも多いです。
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