退職後すぐに再就職。4月に退職し5月すぐに再就職します。 素朴な疑問が湧いてきました。

Question

退職後すぐに再就職。4月に退職し5月すぐに再就職します。
素朴な疑問が湧いてきました。

現在、自営をされている小さな会社に勤務中。扶養内勤務の為雇用保険だけ加入。雇用保険加入時に既に雇用保険被保険者証(資格取得等確認通知書も付いています)はいただいています。
再就職先は、ﾌﾙﾀｲﾑ勤務になるので厚生年金社会保険にも加入予定です。

勤務中の会社が退職の手続き(？)を即日ハローワークに行わなかったら、再就職先で雇用保険加入の手続きが出来ないということはありませんか？
というのも、勤務中の会社はかなりルーズなので、以前雇用保険に入っていると言われていたのにも関わらず手続きをせず丸1年加入出来ていなかったということがあったからです。(遡って加入出来ましたが)
なので、今回はしつこい位にお願いした方が良いのか考えています。
それとも退職する会社は特に何も手続きすることはないのでしょうか？
ちなみに、一応離職票はお願いしようと思っています。手続きしてくれるのかいつ届くのか分かりませんが(涙)
総務関係に詳しくないので、おかしな質問だったらごめんなさい。ご回答その他アドバイスあれば併せてお願い致します。

Answer 1

退職した場合、離職票はすみやかに手続きをして退職者へ送付する決まりなんで届くはずです。

事業主は，労働者が退職した場合、その翌日から起算して１０日以内に離職証明書を
ハローワークに提出しなければなりません。

２．被保険者でなくなったことの確認を求める請求を行い、
ハローワークが確認を行えば離職票が交付されます。

会社側は従業員が退職した場合、ハローワークに届け出なければなりません（雇用保険法第７条）。
その届け出(会社側)は退職した日の翌日から１０日以内に、資格喪失届に離職証明書を添付して、
ハローワークに提出しなければなりません（同法施行規則第７条）。

会社側がハローワークに離職証明書の届け出をすると、ハローワークから会社側に「離職票」が交付されます。
会社側は、離職票が交付されたら退職者へ送付します。
「離職票」は雇用保険受給(失業保険のこと)の手続に必要です。
退職者が失業保険をもらうにも、この離職票がなければ手続きも取れません。