濃厚接触者自体が自宅待機なので出歩く時点でNG。
その親が、子と同居であればもちろん親も自宅待機&子を確実に自宅の中で隔離し、家庭内感染を広めない対策が何よりも必要なので、出勤NGです。
濃厚接触者で無症状の場合も子のPCR陰性が確定して親自身の抗原検査陰性が証明されてからの出勤になるはず。
※福祉の現場なら事業所で感染対策としてきちんと手順立ててあるはずです。従ってください。また、不明点があるなら管理者に指示を仰ぐ連絡をされてください。
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ご質問2点は、実際行われていたら問題ありまくりです。