離職日を変更したいなら前会社に申し出て訂正依頼してください。 あなた自身や新会社では訂正できませんので。 離職日を新会社へバレないようにしたいだけなのであれば 最寄のハローワークであなた自身で被保険者証の再交付ができます。 印鑑持って行って下さい。 別の方が回答されているように番号だけがわかればいいので 「被保険者証紛失してないのですが番号だけわかるので」と メモを渡せばいいとも思えます。
再就職先で雇用保険の資格取得の手続きをするために 雇用保険被保険者証を提出します。 再就職先が必要なのは質問者さんの被保険者番号です。 現状で前勤務先の資格喪失がなされているのであれば問題なく 再就職先で資格取得の手続きが可能です。
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