社会保険加入について 今、派遣就業で雇用保険に加入しなければいけないみたい（明日から出勤で、書類の提出を求められている…

Question

社会保険加入について
今、派遣就業で雇用保険に加入しなければいけないみたい（明日から出勤で、書類の提出を求められている状態）ですが、自分的には、後々、ダブルワークで、今の派遣会社ではなく、フルタイム勤務で社会保険加入条件での仕事をしたいつもりですが、その場合、保険関係はややこしくなりますか?
派遣会社いわく、他で社会保険加入して、雇用保険は派遣会社加入となる。それで問題ない。と言われました。そうなんですか?
でも、あくまで社会保険加入する会社をメインと考えていますが派遣会社が言うような方法で可能だとしても、メインの方には悪印象になりそうですが。
順番が逆になってしまったので、どうしよう!って状態です。メインが先で、ダブルワークで派遣就業だったら何も問題なく手続きできたはずですが。
取りあえず長期雇用契約の派遣就業予定ですが、5/31が最初の契約期間ではあります。そこで契約終了すれば良いのか?
社会保険加入と同じ所で雇用保険も加入したいので。と言う理由で。
メインは面接済で結果待ち状態です。採用されたとしても入社が6月頃になるので、その方法しかないですよね?無事採用された後でダブルワーク先、再度探すしかないですよね。
1ヶ月余りありますが、取りあえず派遣会社で雇用保険加入して、5/31近く上記の理由で更新しない。雇用保険ぬけても良いなら続けても良いかなとは思いますが。と話そうと思っています。
逆に派遣会社に失礼かなとも思うけど(*_*;。
長々と書きましたが、理解できる内容になっているか心配です。
アドバイス等、宜しくお願いします。

補足

長々と書いたので質問が分かりづらくなってしまいましたが、通常、社会保険と雇用保険はセットで加入するものではないのか?疑問です。
初めて聞いた事だったので確認までに。

Answer 1

派遣の仕事をやめて、フルタイムの正規雇用に変わる予定、ということでしょうか。

素直に考えて、派遣先で、自分が辞める日まで雇用保険に入れてもらい、退職と同時に資格喪失、フルタイムのところで再加入、それで良いのでは？

Answer 2

必ずしも雇用保険と社会保険はセットではないです。
社会保険は１ヶ月以上の雇用が見込める場合に加入です。
雇用保険は社会保険(厚生年金＋健康保険)と違って、1日、短期の派遣でも必ず加入です。

そうでないと例えば仕事中や通勤中に事故、怪我をした場合に労災保険が出ません。そして雇用保険は1社しか加入できません。

ただ私の場合、たまに土日や長い休みの時に単発で仕事をしていますが、絶対単発のほうの派遣会社は雇用保険に加入していないと思います。本当は違法だと思いますが、雇用保険番号聞かれていませんし。

ですのでメインの仕事が決まったらメインでない方は辞めたほうがいいです。雇用保険は1社しか加入できないので、メインのほうの会社手続きの段階でバレますよ。