前の会社の申請していない分の手当というか
新しい会社のアルバイトだけだったら12か月未満なので受給資格がありません。
前の会社と新しい会社で雇用保険に加入していた期間が通算12ヶ月以上あれば受給できます。会社ごとに退職したら申請するものでもないです。
それに会社都合退職なので自己都合で辞めた場合よりも給付開始は早くなります。
失業保険を受給するには離職票(会社が申請→ハローワークが発行)が必要です。会社がどうしても申請してくれない場合は会社を辞めた証拠(解雇の書面)をもってハローワークに行きましょう。