店舗の方に聞くべきですね。
店舗の方は雇用証明書を渡してすぐ登録してほしいと思っているかもしれません。
もしかしたら登録販売者に余裕があって急いでいないかもしれません。
ちなみに必要書類は下記のとおりです。
東京都のように郵送でもできるところもありますので、行かなくても大丈夫な場合があります。
販売従事登録申請書
登録販売者の合格通知書
戸籍謄本、戸籍抄本または戸籍記載事項証明書
医師による診断書
使用関係を示す書類
登録手数料
私だったら診断書とか戸籍取得があるので1週間くらいで申請してほしいとは思います。