健康保険資格喪失証明は、再就職に必要ですか？

Question

健康保険資格喪失証明は、再就職に必要ですか？どうしても解せないので、質問します。

今、勤務している職場は委託契約です。
4月1日からの委託業者が変更するのですが、そのまま現在の業務ができることになっています。

3月31日で現在所属している会社を退職
4月1日から、新しい会社に就職

という形をとるのですが、再就職先が「健康保険資格喪失証明書」を出すように言いました。
社会保険から社会保険であれば、いらないと認識していましたが
必要な場合もあるのでしょうか。
再就職先が、組合健保ならば必要なのでしょうか。

実は、現在所属している会社にその旨を伝えると
「健康保険資格喪失証明」は各自で協会けんぽにいって発行してもらうようにと言われ
私も日中仕事をしている身ですので、必要ないものならば手間を省きたいのですが…。

ご存知の方がいらっしゃいましたら、教えてください。

補足

補足ですが、試用期間については、雇用契約書に記載はありません。

Answer 1

大変詳しい回答をしてくださっている方がいらしたので参考になさってはどうでしょう。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1038646870