そうですね。入れた方がいいかと思いますよ。
質問者さんは学生さんですよね?慣れない就職活動でミスをしてしまうことはそんなに珍しいことでも大きな過失でもないので「送ってしまったからもうアウト」ということはないと思います。
そのくらいで怒る人はめったにいませんので、大袈裟な文章で長々と謝る必要性はありません。
ただ、そのままだとお相手に「うちの会社には強い関心がなくて流れ作業でやってるのかな」と受け取られかねませんので、雑な気持ちで申し込んでいる訳ではないことを伝えるためにも一言しっかり謝った方がいいかと思います。