筆記が通れば一次試験は通りますので二次試験に於いて病気に関してあなたから言われなければ不利ということはないと思います。
病気に関する知識がありませんので何とも言えませんが税関や国税専門官は多忙だと思えますのであなたのような病気を抱えた方は如何なものなのかと思います。
行政職も多忙のところはありますが、一般的な役所の方が良いのではないでしょうか。
あまりストレスをためない職場はないと思いますが、できる限り神経を使わずに済む職場を探さなければ長続きしないどころか同僚に迷惑をかけることになりかねません。