財務専門官に限らず、国家公務員試験はたいてい学歴不問ですから、大学4年相当の年齢であれば、受験合格は可能です。 ただし、卒業となると、先の回答者のように働きながら通学は不可能でしょうね。
それは、公務員試験の質問ではなく、同志社大学の制度の問題だと思います。そういった方法が可能か、大学に確認してみて下さい。 なお、書類上というか形式的に卒業するのではなく、実際に通学する必要があるなら、勤務しながらは不可能です。
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