カルノーサイクルでの仕事を求めるとき定容熱容量を使って求めているのですが、なぜでしょうか 定容変化の時は仕事はゼロになる…

Question

カルノーサイクルでの仕事を求めるとき定容熱容量を使って求めているのですが、なぜでしょうか
定容変化の時は仕事はゼロになると思うのですが…

Answer 1

計算過程を簡単にたどってみます。各点での状態を(P, V, T)として次の変化をします。
①（P1, 20x10^-3, 320)
↓
行程1；断熱圧縮
↓
②（P2, V2, 500)
↓
行程２；等温膨張
↓
③（P3, V3, 500)
↓
行程３；断熱膨張
↓
④（P4, 40x10^-3, 320)
↓
行程４；等温圧縮
↓
①（P1, 20x10^-3, 320)

①の状態について
P1x20x10^-3=Rx320
より
P1=16000R Pa...(i)
です。

②の状態について
P1V1^γ=P2V2^γ
16000Rx(20x10^-3)^(5/3)=P2V2^(5/3)
23.58R=P2V2^(5/3)...(ii)
であり、また
P2V2=500R...(iii)
ですから(ii)(iii)より
V2^(2/3)=0.0472
V2=0.01024 m^3...(iv)
となります。さらに(iii)と(iv)より
P２＝500R/0.01024=48828R Pa...(v)
となります。

③の状態について
P3V3=500R...(vi)
P3V3^(5/3)=P4(40x10^-3)^(5/3)...(vii)
であり、(vi)(vii)より
V3^(2/3)=P4x4.6784x10^-3/500R...(viii)
となります。P4が必要です。P4V4=P1V1より
P4(40x10^-3)=P1(20x10^-3)
P4=(1/2)P1=8000R Pa...(viii)
です。これを(viii)に代入すれば
V3^(2/3)=8000Rx4.6784x10^-3/500R
V3=0.07485^(3/2)=0.02048 m^3...(ix)
となります。(ix)の結果を(vi)につかえば
P3=500R/V3=24414R Pa...(x)
となります。

④の状態については
P4=8000R
V4=40x10^-3 （与えられています)
とわかっています。
あとはPV図での閉曲線の積分とST図での閉曲線の積分の比較です。
②→③と③→④の積分の和と、④→①と①→②の積分の和がPV図での閉曲線の面積になります。
J1＝∫(V2→V３)(RT/V)dV+∫(V3→V4)(K/V^γ)dV...(xi)
ここでPV^γ=Kとしています。
(xi)の右辺の一つ目の積分は
J1-1=∫(RT/V)dV=RTln(V3/V2)=Rx500xln(0.02048/0.01024)
=500Rln2...(xii)
となります。(xi)の右辺の二つ目の積分は次のようになります。
J1-2=∫(K/V^γ)dV=K(1/(1-γ))[V^(1-γ)](V3→V4)...(xiii)
ここでK=P3V3^γ=P4V4^γです。Kを入れると(xiii)は
J1-2=(1/(1-5/3)){(P4V4^γ)(V4^(1-γ))-(P3V3^γ)(V3^(1-γ))}
=-(3/2)(P4V4-P3V3)=-(3/2)(320R-500R)
=(3/2)180R=270R...(xiv)
となります。(xii)(xiv)より(xi)は
J1=500Rln2+270R...(xv)
となります。
次に④→①と①→②の積分の和ですがこれはすでに述べたJ1の計算として同様に行えます。ただし積分の向きが④→①ではV4→V1、①→②ではV1→V2です。計算結果は
J2=-320Rln2-270R...(xvi)
です。(xv)と(xvi)の代数和は
J1+J2=180Rln2...(xvii)
です。これが閉曲線内部の正味面積です。

ST図は次のようになります。
１(①→②)；等エントロピー=S1、320 K→500 K
２(②→③)；500 Kでの等温膨張
３(③→④)；等エントロピー=S2、500 K→320 K
4(④→①)；320 Kでの等温圧縮
閉曲線の内側の面積は
J3=500(S2-S1)+320(S1-S2)=180(S2-S1)...(xviii)
となります。ここでΔS=S2-S1は行程２に対応します。ここでの膨張の仕事は
W=∫PdV=RT∫(1/V)dV=RTln(V3/V2)=500Rln2...(xix)
です。ここは等温過程なので内部エネルギーに変化はなく、ΔU=Q-W=0です。従ってここで気体が受け取る熱は
Ｑ=W=500Rln2...(xx)
です。温度500 Kで(xx)の熱を可逆的に受け取ったのですからエントロピー変化は
ΔＳ=500Rln2/500=Rln2...(xxi)
です。これを(xviii)に代入すると
Ｊ3=180Rln2...(xxii)
となります。これは(xvii)に一致します。

こうしてみるとこの問題においてＣvをあからさまに使う必要はなさそうです。
しかし、J1-2の計算（あるいは計算を示していないがJ2-2もそうです)をＣvを使ってより簡単にやることはできます。J１-2は断熱膨張で外部になして仕事を計算していることになります。ところで断熱過程ではΔU=Q-Wで、断熱だからQ=0ですからΔU=-Wです。よって内部エネルギー変化の符号を変えたものが外部へなした仕事量となります。そして1 molの理想気体では
ΔU=CvΔＴ
です。単原子分子気体ではＣv=(3/2)Ｒであり、
ΔＴ=320-500=-180
ですから
Ｗ=-ΔＵ=(3/2)Rx180=270R...(xxiv)
となります。この値は(xiv)に一致しますから、J1-2の計算がより簡単に計算できたことになります。

Answer 2

定容熱容量の値を使っているだけで、定容変化の計算をしているわけではないのです。

だいたい、カルノーサイクルにおいては定容変化はありませんから。