全くわからないので途中式含めて教えてください 簿記1級、最適プロダクトミックスの範囲です

Question

全くわからないので途中式含めて教えてください
簿記1級、最適プロダクトミックスの範囲です

Answer 1

まず、製品X,Yそれぞれの限界数量(生産可能数量と販売可能数量のうち小さい方)を求めます。

・製品Xの生産可能数量: 機械作業時間2,500[時間]÷2[時間/個]＝1,250[個]
・製品Xの販売可能数量: 1,000[個]
・製品Yの生産可能数量: 直接作業時間2,900[時間]÷2[時間/個]＝1,450[個]
・製品Yの販売可能数量: 1,300[個]

これにより、限界数量を与える式①②が判明します。Xの生産量をx個、Yの生産量をy個とすると、

0≦x≦1,000 … ① (製品Xは販売可能数量までしか生産する意味がない)
0≦y≦1,300 … ② (製品Yは販売可能数量までしか生産する意味がない)

次に、XとYの生産可能数量の関係性を整理します。XもYも生産可能数量は販売可能数量を上回るので、直接作業時間と機械作業時間の両方が上限を超えないことだけが条件となり、その範囲で生産可能数量が定まります。

0≦2y≦2,900－x … ③ (直接作業時間の関係)
0≦y≦2,500－2x … ④ (機械作業時間の関係)

③④は、ある点を境に片方が拘束条件ではなくなります(xに関係なくyを増やせるyの値域、yに関係なくxを増やせるxの値域が存在する)。そのため、③④を連立不等式とし、それを解くと、③は0≦x≦700、④は700≦x≦1,000で成立することが分かります。そして、利益の関係式を立式します。

p＝(2,300－1,970)x＋(2,000－1,600)y－200,000
＝330x＋400y－200,000 … ⑤

このままでは利益の変動が追えないので、まず⑤に③を代入し、pの変化を分析します。

p≦330x＋200×(2,900－x)－200,000
＝130x＋380,000 … ⑥ (xが増えるほど利益も増える)

次に⑤に④を代入し、pの変化を分析します。

p≦330x＋400×(2,500－2x)－200,000
＝－470x＋800,000 … ⑦ (xが増えるほど利益は減る)

一見矛盾していますが、⑥は③を代入したので0≦x≦700での話、⑦は④を代入したので700≦x≦1,000での話です。したがって、⑥はxが最大の時、⑦はxが最小の時に利益pが最大になります。それはx＝700の時と分かります。

後はyを求めます(③④どちらから求めても同じ値になる)。y＝1,100です。よって、

製品Xの生産数量: 700個
製品Yの生産数量: 1,100個
売上: 2,300×700＋2,000×1,100＝3,810,000円
利益: 130×700＋380,000＝－470×700＋800,000＝471,000円

と導かれます。