弁護士資格を取って、大手の弁護士事務所で働いたり、自分の事務所を作ったりするのはやはりいい大学(所謂旧帝、早慶など)出身でないと無理なのでしょうか？

Answer 1

大手の弁護士事務所で働く
→法科大学院で東大、京大、一橋、(慶應)もしくは予備試験合格者じゃないと厳しいです。近年は、司法試験の難易度低下により、司法試験合格者の基礎的な学力の担保のために学歴をみるようになっています。
自分の事務所をつくる
→司法試験合格者なら誰でも可能です。ただ、近年騒がれている稼げない弁護士な大体これです。事務所に就けなくてやむを得ず独立した弁護士は大体稼げていません。

Answer 2

司法試験が難関なので、必然的に東大をはじめとした旧帝大や早慶出身の人でないと合格する可能性が高くないと言うことはあると思います。でも中央大法学部をはじめとしたMARCHやそれ以外の大学出身の人でも司法試験に合格すれば大手の弁護士事務所に採用される可能性はあるとは思います。
ちなみに中学の同級生で弁護士になった人が都心に自分の法律事務所を持っていますが、慶應法学部卒です。