私は動物の専門学校に通っていて、

Question

私は動物の専門学校に通っていて、卒業後は愛護センターで働きたいと思っています

ですが、公務員は好きなところで働けないと聞きましたが本当ですか？

Answer 1

就職先は選べます。
職種も選べます。
しかし、その先の配属部署までは選べません。（民間企業でも、配属部署まで100%選べるところなんてありませんが。）

動物愛護センターや保健所の類にも、いくつかの職種の人間が働いています。
例えば、獣医師の様に動物に関係する職種であれば、動物関係の部署を転々とします。号物愛護センターや保健所、食肉や食品衛生、家畜検査、動物園などがある地方公共団体ならそういったところにも。
例えば、一般行政職のような事務屋であれば、事務仕事があるところ全般を転々とします。地方公共団体の業務全体からすれば、動物に直接関係の無いところの方が多いです。その中で、偶々、動物愛護センターに配属になっている職員もいます。そして数年で次の部署に異動します。

Answer 2

ずっと動物愛護センターで働けるのは獣医師だけです。
https://news.livedoor.com/article/detail/13761678/

殺処分ゼロというのも既に行き詰まってますね。
https://www.nhk.or.jp/gendai/articles/4090/