おっしゃるように、doctor の単語には2つの意味があるのです。
博士号を取っているかどうかは関係なく、名詞として2つの意味をもつ単語なので、仕方ないというか、そういうものです。
医者の場合は、専門によって、physician、surgeonと呼び方がさらに分かれます。
博士号の場合は、Doctor of ~ と専門の学問名が後ろにつきます。
さらに語源を調べると、doc には教える、治療するという意味があり、それにor をつけて 教える人、治療する人と2つの意味が出てきたということになります。