職場の女性へ誕生日にLineでお祝いメッセージを送ってもいいでしょうか？

Question

職場の女性へ誕生日にLineでお祝いメッセージを送ってもいいでしょうか？長文です。回答よろしくお願いします。
私は以前から職場に気になる女性(部署は違います)がいました。特にアクションを起こすわけなく、過ごしていたのですが今年に入り、職場の飲み会で少し会話をする機会がありました。その後、同じ職場の同僚から、彼女が私の連絡先(Line)を知りたがっていると聞き、連絡先を交換することができました。

何度か連絡を取り合い、何人かで飲みに行ったり、２人で食事に行ったりもしました。その後、私の彼女を好きな気持ちが増していきました。ただある時からLineをしても彼女がそっけなくなっていき、今まで使われていた絵文字も顔文字も使われなくなっていきました。それでも私は後悔はしたくない性格なので、無理だとわかっていてもある飲み会で彼女と２人きりになったので、その場で告白するも、やはり結果は残念なこととなりました。

後日、告白の件で酔った勢いで言ったわけではないことと、今後も職場でよろしくということのも含めてLineを送ったところ、「気持ちに答えられなくてごめんなさい、今後もよろしくお願いします」と連絡が来ました。それからしばらくは連絡はとらずにいました。
その後私が旅行に行き彼女にもお土産を買ったため、いつ渡せるか確認したところ既読無視されました。３日程経ち、また同じような内容を送ったところそれも既読無視されました。

それからしばらくは連絡せずや会話も挨拶程度(そもそも会うことが週一くらい)になりました。
後日わかったことなのですが、彼女はに好きな人or彼氏がいるらしいです。
そんなこともあり彼女の誕生日がもうすぐなのでお祝いのメッセージを送ろうか迷っているのですが、どうでしょうか？どうでもいいことかもしれませんが、真剣に悩んでいます。
回答よろしくお願いします。

Answer 1

温かい方ですね。
お祝いメッセージぐらいいいと思います。
彼氏がいたとしても仕事仲間として。
誕生日を覚えていてくれて喜ぶ女性もいますよ（＾＾//）

Answer 2

彼女があなたがなまじ好青年だし、職場で関わる人だから邪険にできないけど、本心では困っていることを察して潔く去るのが真の愛情だと思いますよ。

お土産の既読無視で、中途半端にあなたと私的にかかわり、好意を受け入れたら思わせぶりな態度になってしまうし、あなたにも自分の彼にも申し訳ないという彼女の葛藤を理解してあげましょう。

本当に好きなら、好きだからこそ困らせるのは止めなさい。
誕生日のメッセージなどありがた迷惑なだけですよ。そもそもどういう経緯で知ったのかと言うのも気になるでしょうし。

ラインをブロックされてないだけ感謝しましょう。誕生日を祝うのは彼女の彼氏に任せ、自分は仕事で彼女を支え、他のご縁を探す。
潔く去ってこそ男です。お断りされているのにいつまでも中途半端なアプローチを続けると、彼女も困ってラインをブロックしてくるかもしれませんよ。
あくまで彼女がのぞむ、職場でのいい関係でとどまってあげることが思いやりです。