転職サイトにのせない求人となると、人材派遣会社の紹介求人だと思います。
転職サイトのエージェント(紹介)登録してみるとか、紹介予定派遣の告知をしている派遣会社に紹介は現在無いか聴いてみるなどしたらどうでしょう。
公的機関では産業雇用安定センターと言うのが各県に1つずつあります。基本は会社間の人材のやり取りの支援が業務で、首切りしたい会社と、社員を求人したい会社の間に入って社員を異動させ失職者を出さないようにする機関ですが、個人で転職を相談しても正規に登録はできなくても、紹介とかはしてくれますよ。(ほとんどがハローワーク、転職サイト未公開の求人です。)