公務員試験のドモルガンの問題です。 解説お願いします。 1から5の全て解説お願いします。 なぜ違うか、なぜ正解…

Question

公務員試験のドモルガンの問題です。

解説お願いします。
1から5の全て解説お願いします。
なぜ違うか、なぜ正解かも知りたいです。
よろしくお願いします。

Answer 1

文章で考えるといろいろ面倒なので記号論理学の世界に落とし込む。
そうすれば式変形だけで処理できるので思考時間を短縮できる。

①と②を前提条件として
「①∧②」→（選択肢）
が恒真となるならば、その選択肢が「確実にいえる」ということになる。
言い換えると、
・「①」→（選択肢）が恒真とならない、
・「②」→（選択肢）が恒真とならない、
の少なくとも一方を満たせば確実に言えることではない。

法律学が得意であることを J
政治学が得意であることを P
数的処理が得意であることを N
経済学が得意であることを E とすると、

前提条件①は
(J∧P)→￢N ⇔ ￢(J∧P)∨￢N ⇔ (￢J∨￢P)∨￢N
⇔ ￢J∨￢P∨￢N
前提条件②は
(￢N∨￢P)→E ⇔ ￢(￢N∨￢P)∨E
⇔ (N∧P)∨E
これらの論理積は
(E∧￢N)∨(E∧￢P)∨(￢J∧P∧N)

1. ￢N→J∧P ⇔ N∨(J∧P) ⇔ (N∧J)∨(N∧P)
(￢J∨￢P∨￢N)→((N∧J)∨(N∧P))
⇔￢(￢J∨￢P∨￢N)∨((N∧J)∨(N∧P))
⇔(J∧P∧N)∨((N∧J)∨(N∧P))
⇔(N∧J)∨(N∧P)
恒真とはならない。
実際に、数的処理が得意ではなく、かつ、法律学または政治学の少なくとも一方が得意ではないものが存在することを否定できない。
この選択肢は①の逆となっている。

2. N→￢J ⇔ ￢N∨￢J
(￢J∨￢P∨￢N)→￢N∨￢J
⇔￢(￢J∨￢P∨￢N)∨(￢N∨￢J)
⇔J∧P∧N∨(￢N∨￢J)
⇔￢J∧P∧￢N
恒真とはならない。
実際に、法律学が得意、かつ、政治学が得意ではない、かつ、数的処理が得意であるものが存在することを否定できない。
①の対偶が N→￢(J∧P) となっているが、
この選択肢は N→￢J となっている。

3. P→E ⇔ ￢P∨E
(N∧P)∨E→(￢P∨E)
⇔￢((N∧P)∨E)∨(￢P∨E)
⇔((￢N∨￢P)∧￢E)∨(￢P∨E)
⇔(￢N∧￢E)∨(￢P∧￢E)∨￢P∨E
⇔(￢N∧￢E)∨￢P∨E
⇔￢N∨￢P∨E
更新とはならない。
実際に、政治学も数的処理も得意、かつ、経済学が得意ではないものを存在することを否定できない。

4. 選択肢そのものが3.の対偶であることから
3. と同様の結論を得る。

5. ￢E→￢J ⇔ E∨￢J
((E∧￢N)∨(E∧￢P)∨(￢J∧P∧N))→(E∨￢J)
⇔￢((E∧￢N)∨(E∧￢P)∨(￢J∧P∧N))∨(E∨￢J)
⇔(￢(E∧￢N)∧￢(E∧￢P)∧￢(￢J∧P∧N))∨(E∨￢J)
⇔((￢E∨N)∧(￢E∨P)∧(J∨￢P∨￢N))∨(E∨￢J)
⇔(￢E∨N∨E∨￢J)∧(￢E∨P∨E∨￢J)∧(J∨￢P∨￢N∨E∨￢J)
各項に ￢E∨E あるいは J∨￢J が含まれているため
これは恒真となるから正しい。