【回答】
>その1ヶ月の間にまた失業認定申告書をだし、失業保険をもらうことはできますか?
⇒できます。
入社日の前日までもらえます。
【参考】
ご存じかもしれませんが、再就職手当や就業促進定着手当もあります。
【転職後】再就職手当だけじゃない!6ヶ月以上の勤務で就業促進定着手当!https://ztmhiro.com/shuugyousokusinteiyaku_52/
【数値検証】再就職手当をもらわなかった場合のメリット・デメリッhttps://ztmhiro.com/saishuushokuteate_53/