自分の勤務先以外の場所で 自分の仕事とは全く無関係な人間と 激しいののしりあいになりました。

Question

自分の勤務先以外の場所で
自分の仕事とは全く無関係な人間と
激しいののしりあいになりました。そこで
「殺すぞ！」「死ね！くたばれ！」等の
発言をしたとして、後日
相手が勤務先をかぎつけて
メールなり電話で一方的に
自分のことを悪く言ってきた場合
勤め先から何か不利益を被ることが
あるでしょうか？

ちなみに勤め先は某公共施設

きっかけは相手のやっていることに
注意したら逆ギレして
こちらも売り言葉に買い言葉で
のの知り合いになりました。

手は一切出していません。

普通はプライベートな案件で
傷害とかではないので
不問かと思うのですが？

ざっくりとした内容なんで
補足して聞きたいことがあれば
答えられる範囲で答えます。

Answer 1

「殺すぞ！」「死ね！くたばれ！」等の
発言をした
これは不問では無く脅迫罪に該当します。
勤務先が「某公共施設」って事は公務員ですよね。
職場に知れれば、状況如何によって処分される場合もあります。
仮に相手が「脅迫された」と警察に被害届けを出し、事件化され起訴されて、有罪判決（罰金以外）を受ければ失職します。
状況経緯が不明なので、最悪の状態を回答しましたが、普通は警察に被害届けを出しても検察庁で「嫌疑不十分、不起訴か起訴猶予」で終わるでしょうから、失職は免れるとおもいます。
ただ、職場では何らかの処分をされる可能性は高いですね。
最近は、勤務時間中に弁当を注文したり喫煙したりするだけで懲戒処分する官公庁もありますからね。