クレーンの免許についての解説は、既存の回答の通りですが、要点は、2つしかありません。
「クレーン運転士 限定なし」と「移動式クレーン運転士」の二つの免許を取得すれば、全てのクレーンが操作できます。(揚貨装置は船で利用するクレーンの事で、これは省きます)
移動式は、移動するクレーンですので、移動する為の免許として、大型自動車、大型特殊自動車、小型船舶免許、海技士免許が必要です。
関連した資格の中で、「玉掛」技能講習やクレーン定期自主検査者等の安全衛生教育が有りますが、玉掛のみ免許取得前に、それ以外の教育は取得後に講習に参加されると良いでしょう。