採用担当と就職活動アドバイザーをしています。
地銀や信用金庫などは、特に有名大学ではなくて問題ないですよ。
地域に密着している分、その地の大学であったり、東京の大学とかであればUターンが多いかと思います。
貴方の大学がある銀行や貴方の実家のある地域の銀行を狙えばいいかと思います。
ただ、競争率は高いですし、試験や内定が出るのも早いので、早めの動きだしが必要です。今からであれば、むしろ遅い位ですよ。夏休みにインターンシップなどが行われているかもしれません。
国立大学だから大丈夫なんて思わずに早めの行動が大切だと思います。