葬儀場や火葬場の職員は公務員なのですか？

Answer 1

民間（企業や宗教法人等）火葬場では職員は当然民間人です。
公営（自治体・広域連合）の火葬場は直営（公務員）の場合（京都市等）と指定管理者制度を利用して入札により民間に委託する場合があります。応札するのは大抵炉メーカーの子会社若しくは連合体です。少なくとも場長は役所から派遣された公務員です。業務別（駐車場、火葬、清掃等）に直営・委託を使い分ける場合もあります。
集落管理の小規模火葬場では墓地管理委員会の規則により入札等で地元葬儀屋が請け負うことが大半です。今ではほとんどありませんが当番制（隣組や講中）で住民自体が火葬をする場合もありました。今は激減しましたがフリーの火葬技師（火夫）さんも居るようです。おそらくOBか副業でやっていると思われます。
葬儀場については公営が殆ど無くほぼ民間ですが火葬場に併設している場合は場所貸し程度で葬儀社が使用するか民間に委託されています。大阪市営のやすらぎ天空館（葬儀場：休館中）はやはり指定管理者への委託です。

Answer 2

市町村等の火葬場も、指定管理者で民間の業者がやっているでしょう。

Answer 3

地方自治体は葬儀場の許認可権者です。なので自治体が直接葬儀場を経営することは法律の立てつけ上望ましくありません。
なので通常は、葬儀場を管理するための外郭団体を設立し、そこに管理を委託するという形式をとっています。例えば都立の青山斎場の管理者は公益財団法人の「東京都公園協会」です。

なので葬儀場の職員は公務員ではありません。通常はみなし公務員にも該当しません。ただ、多くの公益財団法人には官公庁からの出向職員が多数勤務しています。なので彼らだけは公務員です。