有給休暇を理由なしにとろうとすると部長から怒られることを、労基署に匿名で密告すると会社でバレるものなのでしょうか？

Answer 1

労基署が訴えた人を会社に伝えるような事はありません。
あるとすればその部長が仕事そっちのけで犯人捜しして根負けした場合が考えられます。
なお、訴える場合は部長から怒られる事の具体的な内容と証拠があると信憑性が高まりますし、内容次第ではパワハラにもなり得ます。

Answer 2

絶対にバレないと豪語する方がいますが、監督署の中にはスムーズに解決するために名前を出していいですか？と訊く所もあります。
同意なく勝手に名前を出すことはないにしても、監督署に行く前後で社員同士の会話などから本人が特定されるケースがあります。

理由なしの有給取得は無用のトラブルになるので、理由は「私用のため」としましょう。

Answer 3

絶対にバレませんよ。
労基署は労基法等の違反を取り締まる行政機関です。
「部長が怒る」とかいう労基法とは何の関係もないことでは絶対に動きません。

Answer 4

そのことだけで労働基準監督署が動くことはないので、少なくとも労基署から話が伝わることはありません