病気で離職した場合は自己都合退職になります。
失業手当は今すぐに週20時間以上働ける状態でないと申請できません。
病気で退職して今すぐに働けないなら通常退職後1年以内に受給しないと受給資格が喪失するのに対して病気の場合プラス3年まで受給資格を延長する事が可能です。
(延長している間収入はありません。)
受給資格のある間に働ける様になれば就労許可の診断書があれば特定理由離職者扱いにする事が可能です。
病気理由は自己都合退職になりますが通常2〜3ヶ月給付制限があるのに対し特定理由離職者だとこの給付制限が無くなります。