失業手当について質問させてください。 6月上旬に失業手当の申請をしました。

Question

失業手当について質問させてください。
6月上旬に失業手当の申請をしました。その後6月30日に初認定日を終えたのですが、次回の認定日が8月25日とのことです。 その間に仕事を探し、新たに7月25日から働き始めました。

面接時での希望は週3の6時間、あるいは週４の5時間で1週間20時間未満に収めたいですと伝えましたが（これは失業手当を貰いながら働く上で1週間20時間以上働くと再就職したと見なされるためです）蓋を開ければ1週間20時間を超えてしまっています。

ですので希望と違うので辞めようかと思い、他の仕事場を探しているのですがこの場合、ハローワーク的には今の仕事が再就職と見なされ、改めて離職票を頂き、失業手当の受給申請をしなければならないのでしょうか？
また、次の認定日で働き始め、仮に辞められたら辞めたことを報告しようと思っていますが、まだ手当は貰っていない状態ですが伸びてしまうでしょうか？

以前働いていた場所では正社員でしたので社会保険と雇用保険に入っていましたが、今のところでは雇用保険は入っていません。20時間働く場合雇用保険に入らなければならないはずですが、そこも不安です。
良ければお答えください。
ちなみに以前の職場は自己都合で退職しています。

Answer 1

A職場退職
→現在認定されている失業給付。（１年間有効）

B職場（数週間で退職）
→この間、おそらくすごく短い期間だったので、
雇用保険とか入ってない？（しかも１年働いてない）
ここの職場での失業保険は無効な状態。
（もし入っていても、次回の失業時に使える）

B職場で週２０時間以上働いてしまったので、いったん就業したと
みなされますが、すぐに失業したことになります。
（ここが自己都合になる部分が微妙ですが）
A職場で認定された失業保険がまだ有効なので、失業した場合、
A職場の雇用保険の続きとして受給できます。

ハローワークには次のように説明したらどうでしょうか？

一時的に数日だけの短期バイトしたのですが、
残業をどうしても頼まれて、２０時間超えてしまいました。
ただはじめから数日だけのバイトだったので、
すでにもう仕事はしていません。
大丈夫でしょうか？

ってな感じに、相談すれば、おそらくOKになるかとは
思いますが。